Question

已知橢圓過點且它的離心率為．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（3）已知動直線l過點Q（4，0），交軌跡C₂于R、S兩點．是否存在垂直于x軸的直線m被以RQ為直徑的圓O₁所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓所過點A可求得b值，再由離心率及a²=b²+c²即可求得a值，
（2）由題意可知|MP|=|MF₂|，即動點M到定直線l₁：x=-1的距離等于它到定點F₂（1，0）的距離，從而可判斷動點M的軌跡為拋物線，進而可求得其方程；
（3）設R（x₁，y₁），假設存在直線m：x=t滿足題意，可表示出圓O₁的方程，過O₁作直線x=t的垂線，垂足為E，設直線m與圓O₁的一個交點為G．利用勾股定理可用t，x₁表示出|EG|²，根據表達式可求得t值滿足條件．
解答：解：（1）因為橢圓（a＞b＞0）過點，所以，b²=2，
又因為橢圓C₁的離心率，所以，解得a²=3．
所以橢圓C₁的方程是；
（2）因為線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，
所以|MP|=|MF₂|，即動點M到定直線l₁：x=-1的距離等于它到定點F₂（1，0）的距離，
所以動點M的軌跡C₂是以l₁為準線，F₂為焦點的拋物線，
所以點M的軌跡C₂的方程為y²=4x；
（3）設R（x₁，y₁），假設存在直線m：x=t滿足題意，則圓心，
過O₁作直線x=t的垂線，垂足為E，設直線m與圓O₁的一個交點為G．
可得：，
即
=
=，
當t=3時，|EG|²=3，此時直線m被以RQ為直徑的圓O₁所截得的弦長恒為定值．
因此存在直線m：x=3滿足題意．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，考查學生對問題的探究能力解決問題的能力，（2）問的解決基礎是掌握拋物線的定義，（3）問探究問題的處理方法往往是先假設存在，然后由條件進行推導，如滿足條件即存在，否則不然．