Question

（理）已知函數f（x）=-x²+2ax+a-1在區間[0，1]上的最大值為1，則a的值為________．

Answer 1

1
分析：由已知中函數f（x）=-x²+2ax+a-1的解析式，根據二次函數的圖象及性質，我們可以判斷出函數f（x）=-x²+2ax+a-1的圖象是以直線x=a為對稱軸，且開口朝下的拋物線，分a≤0，a≥1，0＜a＜1三種情況，討論函數f（x）=-x²+2ax+a-1在區間[0，1]上的最大值，最后綜合討論結果，即可得到答案．
解答：∵函數f（x）=-x²+2ax+a-1的圖象是以直線x=a為對稱軸，且開口朝下的拋物線
a≤0時，f（x）在[0，1]上單調減，最大值為f（0）=a-1=1，a=2（舍去）
a≥1時，f（x）在[0，1]上單調增，最大值為 f（1）=3a-2=1，a=1
0＜a＜1時，f（x）在[0，1]上的最大值為f（a）=a²+a-1=1，a=1或-2（舍去）
綜上：a=1
故答案為：1
點評：本題考查的知識點是二次函數在閉區間上的最值，其中分類討論是解答本題的方法，在處理此類問題時，要分區間在對稱軸左側，區間在對稱軸右側和區間在對稱軸兩側，三種情況．