Question

已知f（x）是以2為周期的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=

x

，那么在區間（-1，3）內，關于x的方程f（x）=kx+k（k∈R）有4個根，則k的取值范圍為（　　）

• A、0＜k≤

  1

  4

  或k=

  3

  6

• B、0＜k≤

  1

  4

• C、0＜k＜

  1

  4

  或k=

  3

  6

• D、0＜k＜

  1

  4

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的周期性

專題：函數的性質及應用

分析：在同一坐標系內作出y=f（x）圖象和動直線l：y=kx+k，觀察直線l可得：當已知方程有4個零點時直線l的活動范圍應該在圖中兩條虛線之間，從而通過求直線斜率得到k取值范圍．

解答： 解：∵偶函數f（x）當x∈[0，1]時，f（x）=

x

，
∴當x∈[-1，0]時圖象與x∈[0，1]時關于y軸對稱，
故x∈[-1，0]時f（x）=-

x

，
又∵f（x）是以2為周期的函數，
∴將函數f（x）在[-1，1]上的圖象向左和向右平移2的整數倍個單位，可得f（x）在R上的圖象．
∵直線l：y=kx+k經過定點（-1，0），斜率為k
∴直線l的圖象是經過定點（-1，0）的動直線．（如圖）

在同一坐標系內作出y=f（x）和動直線l：y=kx+k，當它們有4個公共點時，
方程f（x）=kx+k（k∈R，且k≠1）有4個根，
由兩條虛線的斜率k₁=0，k₂=

1

4

，
故直線l的斜率0＜k≤

1

4

，
故選：B

點評：本題給出已知函數圖象與動直線有4個公共點，求斜率k的取值范圍，著重考查了函數的周期性、奇偶性和直線的斜率等知識點，屬于中檔題．