Question

設函數f（x）=（ax-1）e^x+（1-a）x+1．
（I）證明：當a=0時，f（x）≤0；
（II）設當x≥0時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導數，確定函數的單調性，求得函數的最大值，即可證得結論；
（II）f′（x）=-（ax+a-1）e^x+1-a，f（0）=f′（0）=0，設g（x）=f′（x），則g′（x）=（ax+2a-1）e^x，分類討論，確定函數的單調性，即可求a的取值范圍．

解答：（I）證明：當a=0時，f（x）=-e^x+x+1，則f′（x）=-e^x+1
令f′（x）=0，可得x=0
令f′（x）＜0，可得x＜0，令f′（x）＞0，可得x＞0
∴函數f（x）在（-∞，0）上單調遞增，在（0，+∞）單調遞減
∴f（x）_max=f（0）=0
∴f（x）≤0；
（II）f′（x）=-（ax+a-1）e^x+1-a，f（0）=f′（0）=0，
設g（x）=f′（x），則g′（x）=（ax+2a-1）e^x，
①a≤0，x∈（0，+∞）時，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上為減函數，
∵f′（0）=0，∴f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上為減函數，
∴f（x）＜f（0）=0與已知矛盾；
②當0＜a＜

1

2

，x∈（0，

1

a

-2）時，g′（x）＜0，則g（x）在（0，

1

a

-2）上為減函數，此時f′（x）＜0，∴f（x）在（0，

1

a

-2）上為減函數，∴f（x）＜f（0）=0與已知矛盾；
③當a≥

1

2

，x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，即f′（x）在（0，+∞）上為增函數，
∴f′（x）≥f′（0）=0
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數，∴f（x）＞f（0）=0，不等式成立
綜上，a≥

1

2

．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．