Question

已知等差數列{a_n}滿足：a₁=8，a₅=0．數列{b_n}的前n項和為
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）令，試問：是否存在正整數n，使不等式b_nc_n+1＞b_n+c_n成立？若存在，求出相應n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）∵已知{a_n}為等差數列且a₁=8，a₅=0．故求{a_n}的通項公式可使用構造方程法，求出公差d及首項即可，而數列{b_n}，已知其前n項和為，故{b_n}的通項公式可用來解答．
（2）由（1）的結論，我們可以先寫出c_n的通項公式，再結合數列的單調性從n=1開始對b_nc_n+1＞b_n+c_n進行分類討論，即可得到答案．
解答：解：（1）設數列{a_n}的公差為d，由a₅=a₁+4d₁，得d₁=-2，
得a_n=-2n+10．
由數列{b_n}的前n和為
可知，當n=1時，，
當n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=2^n-2，b_n=2^n-2當n=1時，得，
故數列{a_n}的通項公式為a_n=-2n+10，
{b_n}的通項公式為b_n=2^n-2．
（2）假設存在正整數n使不等式b_nc_n+1＞b_n+c_n成立，
即要滿足（c_n-1）（b_n-1）＞0，
由，b_n=2^n-2，
所以數列{c_n}單調減，數列{b_n}單調增，
①當正整數n=1，2時，2^n-2-1≤0，
所以b_nc_n+1＞b_n+c_n不成立；
②當正整數n=3，4時，c_n-1＞0，b_n-1＞0，
所以b_nc_n+1＞b_n+c_n成立；
③當正整數n≥5時，c_n-1≤0，b_n-1＞0，
所以b_nc_n+1＞b_n+c_n不成立．
綜上所述，存在正整數n=3，4時，
使不等式b_nc_n+1＞b_n+c_n成立．
點評：數列的通項a_n與前n項和S_n的關系是．已知a_n求S_n時方法千差萬別，但已知S_n求a_n時方法卻是高度統一．當n≥2時求出a_n也適合n=1時的情形，可直接寫成a_n=S_n-S_n-1，否則分段表示．