Question

已知F₁（－c,0）, F₂（c,0） (c＞0)是橢圓的兩個焦點，O為坐標原點，圓M的方程是．

（1）若P是圓M上的任意一點，求證：是定值；

（2）若橢圓經過圓上一點Q，且cos∠F₁QF₂=，求橢圓的離心率；

（3）在（2）的條件下，若|OQ|=，求橢圓的方程．

Answer 1

（1）證明：設P（x,y）是圓上的任意一點，

= =3

∴=3  

（2）解：在△F₁QF₂中，F₁F₂=2c，Q在圓上，設|QF₂|=x，則|QF₁|=3x，

橢圓半長軸長為2x，

4c²=x²＋9x²－6x²×，5c²=8x²

e²=，e=．              

（3）解：由（2）知，x=，即|QF₂|=，則|QF₁|=3

由于|OQ|=，∴c=2，進一步由e= =得到a²=10，b²=6

所求橢圓方程是．