Question

已知球面上有三點A、B．C，此三點構成一個邊長為1的等邊三角形，球心到平面ABC的距離等于球半徑的

1

3

，則球半徑是（　　）

• A．

  3

• B．

  1

  3

• C．

  6

  4

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：根據△ABC是一個邊長為l的等邊三角形，得到它的外心到頂點的距離，即經過A、B、C的球小圓半徑．再根據球心到平面ABC的距離等于球半徑的 

1

3

，結合球的截面圓性質和勾股定理建立關系式，解之即得球半徑的值．

解答：解：∵△ABC是一個邊長為l的等邊三角形，∴△ABC的高AD=

3

2

．
設△ABC的外接圓圓心設為O'，得到AO'=

2

3

AD=

3

3

再設球心為O，因為球心O到平面ABC的距離等于球半徑的

1

3

，
所以OO'=

1

3

OA，
Rt△OO'A中，O'A²+OO'²=OA²，即（

3

3

）2+

1

9

OA²=OA²
∴

8

9

OA²=

1

3

，故OA=

6

4

，即球半徑是

6

4

．
故選：C．

點評：本題給出球截面圓的內接等邊三角形邊長和球心到截面的距離，求它的半徑，著重考查了球的截面圓的性質和空間距離計算的知識點，屬于基礎題．