Question

（本小題滿分15分）已知函數．

（1）當時，求在最小值；

（2）若存在單調遞減區間，求的取值范圍；

（3）求證：（）．

 

Answer 1

【答案】

(1) ；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)由求導判的函數在上單調遞增，可求函數的最小值；（2）因存在單調遞減區間，所以有正數解，再分類討論對類一元二次函數存在正解進行討論.（3）利用數學歸納法進行證明即可.

試題解析：（1），定義域為．

       ，                       

       在上是增函數．

.

（2）   因為

因為若存在單調遞減區間，所以有正數解.

即有的解 

當時，明顯成立 .

②當時，開口向下的拋物線，總有的解；

③當時，開口向上的拋物線，

即方程有正根.

因為，

所以方程有兩正根.

當時，；                        ……… 4分

 

，解得．                             

 

綜合①②③知：．                                       ……… 9分

（3）（法一）根據（Ⅰ）的結論，當時，，即．

令，則有，    ．

，

．                                 ……… 15分

 (法二)當時，．

，，即時命題成立．

設當時，命題成立，即 ．

 時，．

根據（Ⅰ）的結論，當時，，即．

令，則有，

則有，即時命題也成立．

因此，由數學歸納法可知不等式成立．                            ………15分

考點：1.求導判單調性；2.方程與根的關系；3.數學歸納法.