Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

2

，a_na_n-1-2a_n+1=0（n≥2）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的一個(gè)通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由a₁=

1

2

，a_na_n-1-2a_n+1=0（n≥2），代入n=2，3，4，5計(jì)算，可求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵是假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，命題成立，即成立，利用遞推式，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立．

解答：解：（1）由a₁=

1

2

，a_na_n-1-2a_n+1=0（n≥2），得a₂=

2

3

，a₃=

3

4

，a₄=

4

5

，a₅=

5

6

．
（2）由以上結(jié)果猜測(cè)：a_n=

n

n+1

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a₁=

1

2

，右邊=

1

1+1

=

1

2

，等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，命題成立，即ak=

k

k+1

成立．
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1a_k-2a_k+1+1=0，所以a_k+1•

k

k+1

-2a_k+1+1=0，解得ak+1=

k+1

k+2

．
這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立．
由①和②，可知猜測(cè)an=對(duì)于任意正整數(shù)n都成立．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查歸納猜想，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，屬于中檔題．