Question

函數y=

sin3x

sinx

-

cos5x

cosx

(x∈(0，

π

2

))的值域是（　�。�

A．[-1，3]

B．[-1，4]

C．（-6，3]

D．（-2，4]

Answer 1

分析：利用二倍角公式化簡函數的解析式為y=-16(sin 2x-

1

4

)2+3，根據0＜sinx＜1，再利用二次函數的性質可得函數y的值域．

解答：解：∵函數y=

sin3x

sinx

-

cos5x

cosx

=

3sinx-4sin3x

sinx

-

cos3xcos2x-sin3xsin2x

cosx

 
=3-4sin²x-

(4cos3x-3cosx)cos2x-sin3x• 2sinxcosx

cosx

 
=3-4sin²x-4cos²x cos2x+3cos2x+2sin3xsinx
=3-4sin²x-4（1-sin²x）（1-2sin²x）+3（1-2sin²x）+2（3sinx-4sin³x）sinx
=2+8sin²x-16sin⁴x=-16(sin 2x-

1

4

)2+3，且 0＜x＜

π

2

，∴0＜sinx＜1，
∴當sin²x=

1

4

時，函數取得最大值為 3，當sinx 趨于1 時，函數的最小值趨于-6，
即函數的值域為 （-6，3]，
故選 C．

點評：本題主要考查二倍角公式、正弦函數的定義域和值域，二次函數的性質應用，屬于中檔題．