Question

解答題 如圖：過點A1(1，0)作y軸平行線與曲線C：y＝x2(＞0，x＞0)交于B1點，過B1作曲線C的切線交x軸于A2，再過A2作y軸平行線交曲線C于B2，過B2作曲線C的切線交x軸于A3……，如此繼續無限下去，得到點列:{An(an，0)}、{Bn(an，bn)}，設△AnBnAn＋1的面積為Sn． (1) 求數列{an}的通項公式． (2) 若設cn＝log2Sn，且{cn}的前n項和Tn中，只有T2最大，求的范圍． (3) 若設Tn＝S1＋S2＋…＋Sn，且數列{cn}、{Tn}滿足＝1，c1＝ 8cn＝Tn－1＋cn－1求{cn}的通項公式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：曲線C在Bn(an，bn)的切線BnAn＋1斜率為： kn＝＝2an 又∵kn＝＝ ∴＝2an即：an＋1＝an ∴{an}為等比數列，公比為，首項a1＝1 ∴{an}的通項an＝
(2)	由(Ⅰ)知bn＝an2＝ ∴Sn＝|AnAn＋1|·|AnBn|＝×[－]×＝∴cn＝log2＋1－3n……∵{cn}的前n項和Tn中，只有T2最大 ∴即： 解得：32＜＜256
(3)	解：由(Ⅱ)知，數列{Sn}是等比數列，首項S1＝，公比q＝ ∴Tn＝＝(1－)， ∴＝＝1，即＝， ∴Tn＝1－，∴8cn＝Tn－1＋cn－18cn－cn－1＝1－8ncn－8n－1cn－1＝8n－1－1 ∴8ncn＝(8ncn－8n－1cn－1)＋(8n－1cn－1－8n－2cn－2)＋…＋(83c3－82c2)＋(82c2－8c1)＋8c1 ＝(8n－1－1)＋(8n－2－1)＋…(82－1)＋(8－1)＋8c1 ＝－(n－1)＋＝＋1－n ∴所求通項cn＝＋ 　　[評析]：在等差數列中，若則只有前n項和Tn最大，若則Tn與Tn＋1同時達到最大；理科第(Ⅲ)題解題關鍵是構造數列{8ncn}，并用迭加