Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為底面的中心，E是CC₁的中點，那么異面直線A₁D與EO所成角的余弦值為（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  2

  2

• C、

  1

  2

• D、0

Answer 1

分析：本題可以建立空間坐標系，求出兩異面直線的方向向量，利用數量積公式求出兩向量夾角余弦的絕對值，即所求的異面直線A₁D與EO所成角的余弦值

解答：解：如圖以DA所在直線為X軸，以DC所在直線為Y軸，以DD₁所在直線為Z軸建立如圖的坐標系，由題設條件棱長為2，O為底面的中心，E是CC₁的中點，故有A₁（2，0，2），D（0，0，0），O（1，1，0），E（0，2，1）
故

A 1D

=（-2，0，-2），

EO

=（-1，1，1），
cos＜

A 1D

，

EO

＞=

A 1D • EO

| EO | | A 1D |

=

0

8 × 3

=0
故選D

點評：本題考查異面直線所成角的求法，由于本題中兩個異面直線所存在的背景是一個正方形，故采取向量法求兩線的夾角比較方便，用向量法求兩異面直線的夾角最大的好處是不用再作角，證角，簡化了思維．