Question

已知函數f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

(x∈R)，其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當a＜0時，求函數f（x）的單調區間與極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數解析式，求出導函數，得到f′（2），再求出f（2），直接寫切線方程的點斜式；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，由a＜0，解出導函數大于0和小于0的x的范圍，則答案可求．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

(x∈R)，
當a=1時，f（x）=

2x

x2+1

，f'（x）=

1-x2

(x2+1)2

．
f（2）=

4

5

，則切點為（2，

4

5

）．
f'（2）=-

3

25

，則切線斜率為-

3

25

，
用點斜式得切線方程為：y-

4

5

=-

3

25

（x-2），即3x+25y-26=0；
（Ⅱ）由f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

(x∈R)，得
f'（x）=

-2ax2+(2a2-2)x+2a

(x2+1)2

=

-2(ax+1)(x-a)

(x2+1)2

．
當a＜0時，由-2（ax+1）（x-a）＞0，解得：a＜x＜-

1

a

．
由-2（ax+1）（x-a）＜0，解得：x＜a或x＞-

1

a

．
∴遞減區間是（-∞，a），（-

1

a

，+∞），遞增區間是（a，-

1

a

）．
極小值是f（a）=1，極大值是f（-

1

a

）=

a2(1-a2)

1+a2

．

點評：本題考查了利用導數求曲線上過某點的切線方程，考查了利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的極值，是中檔題．