Question

如圖，已知矩形ORTM內有5個全等的小正方形，其中頂點A、B、C、D在矩形ORTM的四條邊上．
（1）若

BD

=x

AE

+y

AF

，求x+y的值；
（2）若矩形ORTM的邊長OR=7，OM=8，試求小正方形的邊長；
（3）現向矩形ORTM內任意投出一個點P，求點P落入五個小正方形內的概率．

Answer 1

分析：（1）根據題意，根據向量加法的三角形法則，表示出向量

BD

=

AD

-

AB

=2

AE

-(2

AF

-

AE

)=3

AE

-2

AF

，得到x，y的值，求和即可．
（2）解法一：射線AI、AD的方向分別為x軸、y軸的正向建立平面直角坐標系，設邊長為a，寫出A，B，C，D以及直線MDT，ODR的方程，運用平行線間的距離公式求解．
解法二：設銳角∠MAD=θ，設小正方形的邊長為a，得到

7=a•sinθ+3a•cosθ 8=a•cosθ+2a•sinθ+2a•cosθ

，消去參數θ，求得邊長a的值即可．
（3）根據幾何概型，點P落入五個小正方形內的概率P（ξ）=

5S正方形

S矩形ORTM

．

解答：解：（1）由平面向量的加減運算可知

BD

=

AD

-

AB

，而

AD

=2

AE

，

AB

=

AH

+

HB

=2

AF

-

AE

，故

BD

=

AD

-

AB

=2

AE

-(2

AF

-

AE

)=3

AE

-2

AF

．注意到

AE

、

AF

不共線，根據平面向量基本定理，比較

BD

=x

AE

+y

AF

與

BD

=3

AE

-2

AF

可知x=3，y=-2，x+y=1．
（2）解法一：因為

AE

⊥

AF

以射線AI、AD的方向分別為x軸、y軸的正向建立平面直角坐標系，設小正方形的邊長為a得A（0，0）、B（2a，-a）、C（3a，a）、D（0，2a）．設直線MDT的斜率為k，則MDT：y=kx+2a（k＞0），OBR：y=kx-a（2k+1），MAO：y=-

1

k

x，TCR：y=-

1

k

x+a+

3a

k

．由此可得直線MDT、OBR之間的距離是

a(2k+3)

k2+1

=8，直線MAO、TCR之間的距離是

a( 3 k +1)

1 k2 +1

=7，由此可解得k=

1

2

，，a=

5

，即小正方形的邊長為

5

．
解法二：設銳角∠MAD=θ，設小正方形的邊長為a，則由右圖可得

7=a•sinθ+3a•cosθ 8=a•cosθ+2a•sinθ+2a•cosθ.

相減得

1=a•sinθ 2=a•cosθ.

消去θ解得邊長為a=

5

．
（3）設“向矩形ORTM內任意投出T（-1，1）一個點P，點P落入五個小正方形內”為事件ξ，
由幾何概型可知，點P落入五個小正方形內的概率   P（ξ）=

5S正方形

S矩形ORTM

=

25

56

．

點評：此題考查平面向量基本道理和數量積的運算，以及建立坐標系，參數方程解決幾何問題，還考查了幾何概型，屬于較難的題目，應該靈活掌握．