Question

已知動點P到點F（2，0）的距離與它到直線x=1的距離之比為．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設點P的軌跡為曲線C，過點F作互相垂直的兩條直線l₁、l₂，l₁交曲線C于A、B兩點，l₂交曲線C于M、N兩點．求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出動點P的坐標，直接利用條件寫方程，化簡．
（2）當當直線l₁，l₂之一與x軸垂直時，易求此定值，當直線l₁，l₂都不與x軸垂直時，設出直線l₁的方程，得到l₂的方程，將l₁的方程于雙曲線的方程聯立，利用根與系數的關系計算與，進而計算•的值，同理計算•的值，即得結果．
解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），由題意得：．
所以點P的軌跡方程為x²-y²=2．（4分）
（Ⅱ）當直線l₁，l₂之一與x軸垂直，不妨設l₁與x軸垂直，此時，，，，，，
所以．（6分）
當直線l₁，l₂都不與x軸垂直時，
由題意設直線l₁為y=k（x-2）k≠0，
則l₂的方程，
由得（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0．（7分）
因為l₁交雙曲線C于A、B兩點，
所以解得k≠±1．（8分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，，y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
因為=（x₁-2，y₁），=（x₂-2，y₂），
所以=（1+k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]==（11分）
同理，（12分）
所以=，
即為定值0．（14分）
點評：本題考查軌跡方程的求法、直線與圓錐曲線的綜合應用．