Question

若直線y=x+b與曲線y=1+

1-x2

有兩個不同的公共點，則實數b的取值范圍為

[2，1+

2

）

．

Answer 1

分析：曲線表示以C（0，1）為圓心、半徑等于1的半圓，當直線y=x+b過點（0，2）時，可得b=2，滿足條件．當直線y=x+b和半圓相切時，由1=

|0-1+b|

1+1

解得 b=1+

2

，
數形結合可得實數b的取值范圍．

解答：解：曲線y=1+

1-x2

即 x²+（y-1）²=1 （y≥1），表示以C（0，1）為圓心、半徑等于1的半圓，如圖所示：
當直線y=x+b過點（0，2）時，可得b=2，滿足直線y=x+b與曲線y=1+

1-x2

有兩個不同的公共點．
當直線y=x+b和半圓相切時，由1=

|0-1+b|

1+1

 解得 b=1+

2

，或b=1-

2

 （舍去），
故直線y=x+b與曲線y=1+

1-x2

有兩個不同的公共點時，實數b的取值范圍為[2，1+

2

 ），
故答案為[2，1+

2

）．

點評：本題主要考查直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式的應用，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．