Question

已知向量

OP

=（2cosx+1，cos2x-sinx+1），

OQ

=（cosx，-1），定義f(x)=

OP

•

OQ

．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（0，2π），當

OP

•

OQ

＜-1時，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積以及二倍角公式，兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，即可求函數f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（0，2π），通過

OP

•

OQ

＜-1，直接求出x的取值范圍．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）f(x)=

OP

•

OQ

=（2cosx+1，cos2x-sinx+1）•（cosx，-1）
=2cos²x+cosx-cos2x-1+sinx
=cosx+sinx=

2

sin(x+

π

4

)
所以，f（x）的最小正周期　T=

2π

1

=2π
（2）∵

OP

•

OQ

＜-1∴sin(x+

π

4

)＜-

2

2

∵x∈（0，2π）∴

π

4

＜x+

π

4

＜

9π

4

由三角函數圖象知：

5π

4

＜x+

π

4

＜

7π

4

 ∴π＜x＜

3π

2

∴x的取值范圍是(π， 

3π

2

)

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，向量數量積的應用，考查計算能力，三角函數的形狀的應用，常考題型．