Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx-xcosx，x∈R．
（I）當(dāng)x＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng)x∈[0，2013π]時(shí)，求所有極值的和．

Answer 1

分析：（I）由f（x）=sinx-xcosx，x＞0，知f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（II）當(dāng)x=π，3π，…，2kπ+π，…時(shí)，函數(shù)f（x）取極大值，當(dāng)x=2π，4π，…，2kπ+2π，…時(shí)，函數(shù)f（x）取極小值，由此能求出當(dāng)x∈[0，2013π]時(shí)，所有極值的和．

解答：解：（I）∵f（x）=sinx-xcosx，x＞0，
∴f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，sinx＞0，
∴2kπ＜x＜2kπ+π，k∈N，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（2kπ，2kπ+π），k∈N．
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，sinx＜0，
∴2kπ+π＜x＜2kπ+2π，k∈N，
∴函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（2kπ+π，2kπ+2π），k∈N．
（II）當(dāng)x=π，3π，…，2kπ+π，…時(shí)，函數(shù)f（x）取極大值，
當(dāng)x=2π，4π，…，2kπ+2π，…時(shí)，函數(shù)f（x）取極小值，
∴當(dāng)x∈[0，2013π]時(shí)，所有極值的和為：
f（π）+f（2π）+f（3π）+f（4π）+…+f（2013π）
=π-2π+3π-4π+…-2012π+2013π
=1007π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和極值和的求法，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，考查分類(lèi)討論能力，考查計(jì)算求解能力．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．