Question

如圖，在正三棱錐A-BCD中，∠BAC=30°，AB=a，平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H．
（1）判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由．
（2）設P是棱AD上的點，當AP為何值時，平面PBC⊥平面EFGH，請給出證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用AD∥面EFGH⇒AD∥HG，同理EF∥FG⇒四邊形EFGH是平行四邊形．再利用AD⊥BC⇒HG⊥EH⇒四邊形EFGH是矩形．
（2）作CP⊥AD于P點，連接BP，再由AD⊥BC⇒AD⊥面BCP，證得HG⊥面BCP⇒平面PBC⊥平面EFGH．然后在Rt△APC中，求出AP即可．
解答：解：（1）∵AD∥面EFGH，面ACD∩面EFGH=HG，AD?面ACD
∴HG∥EF．（2分）
同理EH∥FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形（3分）
∵三棱錐A-BCD是正三棱錐，
∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，
∴DO⊥BC，
∴AD⊥BC，
∴HG⊥EH，四邊形EFGH是矩形（5分）
（2）當AP=a時，平面PBC⊥平面EFGH．（7分）
證明如下：
作CP⊥AD于P點，連接BP，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥面BCP（10分）
∵HG∥AD，
∴HG⊥面BCP，HG?面EFGH⇒面BCP⊥面EFGH，
在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a，
∴AP=a（12分）
點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內找兩條相交直線和另一平面內的某一條直線垂直．