Question

過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于A，B兩點，A，B在x軸上的正射影分別為D，C．若梯形ABCD的面積為，則P=    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據拋物線方程得出其焦點坐標和過焦點斜率為1的直線方程，設出A，B兩點的坐標，把直線與拋物線方程聯立消去y，根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而用A，B坐標表示出梯形的面積建立等式求得p．
解答：解：拋物線的焦點坐標為F（0，），則過焦點斜率為1的直線方程為y=x+，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₂＞x₁），由題意可知y₁＞0，y₂＞0
由，消去y得x²-2px-p2=0，
由韋達定理得，x₁+x₂=2p，x₁x₂=-p²
所以梯形ABCD的面積為：S=（y₁+y₂）（x₂-x₁）=（x₁+x₂+p）（x₂-x₁）=•3p=3p²
所以3p²=12，又p＞0，所以p=2
故答案為2．
點評：本題考查拋物線的焦點坐標，直線的方程，直線與拋物線的位置關系，考查考生的運算能力，屬中檔題