Question

已知公差為d（d＞1）的等差數列{a_n}和公比為q（q＞1）的等比數列{b_n}，
滿足集合{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}
（1）求通項a_n，b_n；
（2）求數列{a_n•b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）結合等差數列與等比數列的項，由{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}可得a₃，a₄，a₅，b₃，b₄，b₅的值，從而可求數列的通項，
（2）由于a_n，b_n分別為等差數列、等比數列，用“乘公比錯位相減”求數列的和s_n

解答：解：
（1）∵1，2，3，4，5這5個數中成公差大于1的等差數列的三個數
只能是1，3，5；成公比大于1的等比數列的三個數只能是1，2，4
而{a₃，a₄，a₅}∪{b₃，b₄，b₅}={1，2，3，4，5}，
∴a₃=1，a₄=3，a₅=5，b₃=1，b₄=2，b₅=4
∴a₁=-3，d=2，b₁=

1

4

，q=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-5，b_n=b₁×q^n-1=2^n-3
（2）∵a_nb_n=（2n-5）×2^n-3
∴S_n=（-3）×2^-2+（-1）×2^-1+1×2⁰++（2n-5）×2^n-3
2s_n=-3×2^-1+（-1）×2⁰+…+（2n-7）×2^2n-3+（2n-5）×2^n-2，
兩式相減得-S_n=（-3）×2^-2+2×2^-1+2×2⁰++2×2^n-3-（2n-5）×2^n-2=-

3

4

-1+2n-1-(2n-5)×2n-2
∴Sn=

7

4

+(2n-7)×2n-2（n∈N^*）

點評：本題主要考查了等差數列與等比數列的綜合，結合集合的基本運算求數列中的項，進而求通項公式，而“乘公比錯位相減”求數列的和是數列求和的常考點，其結構特點是：若數列a_n，b_n分別為等差數列與等比數列，則對數列c_n=a_n•b_n求和應用此法，要注意掌握．