Question

在數列{a_n} 中，a₁=1，a_n+1=1-，b_n=，其中n∈N⁺，
（Ⅰ）求證：數列{b_n} 是等差數列，并求數列{a_n} 的通項公式a_n；
（Ⅱ）設c_n=a_n，數列{C_nC_n+1} 的前n項和為T_n，是否存在正整整m，使得Tn＜對于n∈N⁺恒成立，若存在，求出m的最大值，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵a₁=1，a_n+1=1-，b_n=，
∴b_n+1-b_n===-=2（n∈N^*）
∴數列{b_n}是等差數列，
∵a₁=1，∴b₁==2，
∴b_n=2+（n-1）×2=2n，
由b_n=，得2a_n-1==，（n∈N^*）
∴a_n=．
（2）∵c_n=a_n==，
∴C_nC_n+1==，
∴T=c₁c₂+c₂c₃+…+c_nc_n+1
=（1-）+（）+（）+…+（）
=1-＜1，
∵T_n=1-＜對于n∈N⁺恒成立，
∴，∴m≤2，
所以m的最大值為2．
分析：（1）要證數列{b_n}是等差數列，只需證明b_n+1-b_n=2；
（2）由a_n=，可得c_n=a_n==，從而利用裂項法求前n項和為T_n，進而利用最值思想解決恒成立問題．
點評：本題主要考查等差數列的定義及通項公式的求解，考查裂項法求和及恒成立問題的處理 方法，綜合性強，難度大．