Question

在數列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=αa_n+β（α＞0）且a₂=5，a₃=17．
（Ⅰ）求a_n+1與a_n的關系式；
（Ⅱ）求證：{a_n+1}是等比數列；
（Ⅲ）求數列{n（a_n+1）}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）由已知：數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=αa_n+β（α＞0），a₂=5，a₃=17，即可得出α，β；
（II）由（Ⅰ）知，a_n+1=3a_n+2，變形為a_n+1+1=3（a_n+1），再利用等比數列的定義即可得出．
（III）利用“錯位相減法”和等比數列的前n項和公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=αa_n+β（α＞0），a₂=5，a₃=17，
∴

α+β=5 5α+β=17

解得

α=3 β=2.

∴a_n+1=3a_n+2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n+1=3a_n+2，∴a_n+1+1=3（a_n+1）．
∵a₁=1，即a_n+1≠0，
∴

an+1+1

an+1

=3，
∴{a_n+1}是首項為2，3為公比的等比數列．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）知，an+1=2×3n-1，
∴Sn=1×2+2×2×31+3×2×32+…+n×2×3n-1，
3Sn=1×2×3+2×2×32+3×2×33+…+n×2×3n，
兩式相減，得：2Sn=-1×2-2×31-2×32-…-2×3n-1+n×2×3n-1
=-2-2

3-3n

1-3

+2n•3n，
∴Sn=

3n(2n-1)+1

2

．

點評：熟練掌握等比數列的定義、通項公式、“錯位相減法”和等比數列的前n項和公式、待定系數法等即可得出．