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定理:三角形的外心O、重心G、垂心H依次在同一條直線(歐拉線)上,且=,其中外心O是三條邊的中垂線的交點,重心G是三條邊的中線的交點,垂心H是三條高的交點.如圖,在△ABC中,AB>AC,AB>BC,M是邊BC的中點,AH⊥BC(N是垂足),O是外心,G是重心,H是垂心,OM=1,則根據定理可求得的最大值是   
【答案】分析:以M為坐標原點,建立平面直角坐標系,根據已知逐一求出O,A,G,H,N及向量的坐標,代入向量數量積的坐標公式,進而根據二次函數的圖象和性質,求出的最大值
解答:解:以M為坐標原點,建立平面直角坐標系,如圖所示:
∵OM=1,故O點的坐標為(0,1)
設A點坐標為(3x,3y),則N點坐標為(3x,0),
∵△ABC中,AB>AC,故x>0,y>0
由G為△ABC的重心,故G點坐標為(x,y)
=(x,y-1)
又∵=
=(3x,3y-3),故H點的坐標是(3x,3y-2)
=(0,2-3y)
=(x,y-1)(0,2-3y)=-3y2+5y-2
故當y=時,取最大值
故答案為:
點評:本題考查的知識點是向量在幾何中的應用,其中建立坐標系,將問題轉化為求二次函數的最值問題是解答的關鍵.
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科目:高中數學 來源: 題型:

定理:三角形的外心O、重心G、垂心H依次在同一條直線(歐拉線)上,且
OG
=
1
3
OH
,其中外心O是三條邊的中垂線的交點,重心G是三條邊的中線的交點,垂心H是三條高的交點.如圖,在△ABC中,AB>AC,AB>BC,M是邊BC的中點,AH⊥BC(N是垂足),O是外心,G是重心,H是垂心,OM=1,則根據定理可求得
OG
HN
的最大值是
1
12
1
12

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