Question

我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采用價格調控等手段以達到節約用水的目的．
某市用水收費標準是：水費=基本費+超額費+定額損耗費，且有如下三條規定：
①若每月用水量不超過最低限量m立方米時，只付基本費9元和每戶每月定額損耗費a元；
②若每月用水量超過m立方米時，除了付基本費和定額損耗費外，超過部分每立方米付n元的超額費；
③每戶每月的定額損耗費a不超過5元．
（1）求每戶每月水費y（元）與月用水量x（立方米）的函數關系；
（2）該市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的費用如下表所示：

月份	用水量（立方米）	水費（元）
一	4	17
二	5	23
三	2.5	11

試分析該家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超過最低限量，并求m，n，a的值．

Answer 1

分析：（1）根據水費=基本費+超額費+定額損耗費，把幾項費用加到一起列出關于x的等式即得到．
（2）由于該家庭今年一、二月份的水費均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米．故可由（1）列出方程式求出x，y．再求出m，n，同理可以求出3月份的．即得到答案．

解答：（1）解：依題意，得y=

9+a，0＜x≤m(*) 9+n(x-m)+a，x＞m(**)

其中0＜a≤5．
（2）解：∵0＜a≤5，
∴9＜9+a≤14．
由于該家庭今年一、二月份的水費均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于
最低限量m立方米．
將

x=4 y=17

和

x=5 y=23

分別代入（**），
得

17=9+n(4-m)+a 23=9+n(5-m)+a

兩式相減，得n=6．
代入17=9+n（4-m）+a，得a=6m-16．
又三月份用水量為2.5立方米，
若m＜2.5，將

x=2.5 y=11

代入（**），得a=6m-13，
這與a=6m-16矛盾．（10分）
∴m≥2.5，即該家庭三月份用水量2.5立方米沒有超最低限量．
將

x=2.5 y=11

代入（*），得11=9+a，
由

a=6m-16 11=9+a

解得

a=2 m=3

故該家庭今年一、二月份用水超過最低限量，三月份用水沒有超過最低限量，且m=3，n=6，a=2．

點評：本小題主要考查函數和方程、分段函數等知識，考查函數與方程、分類與整合的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和應用意識．