Question

已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點，F、G分別是BC、CD上的點，且．
求證：（1）E、F、G、H四點共面；（2）三條直線EF、GH、AC交于一點．

Answer 1

【答案】分析：（1）由E、H分別是AB、AD的中點，根據中位線定理，我們可得，EH∥BD，又由F、G分別是BC、CD上的點，且．根據平行線分線段成比例定理的引理，我們可得FG∥BD，則由平行公理我們可得EH∥FG，易得E、F、G、H四點共面；
（2）由（1）的結論，直線EF，GH是梯形的兩腰，所以它們的延長線必相交于一點P，而由于AC是EF和GH分別所在平面ABC和平面ADC的交線，而點P是上述兩平面的公共點，由公理3知P∈AC．故三線共點．
解答：證明：（1）在△ABD和△CBD中，
∵E、H分別是AB和CD的中點，∴EHBD
又∵，∴FGBD．
∴EH∥FG
所以，E、F、G、H四點共面．
（2）由（1）可知，EH∥FG，且EH≠FG，即直線EF，GH是梯形的兩腰，
所以它們的延長線必相交于一點P
∵AC是EF和GH分別所在平面ABC和平面ADC的交線，而點P是上述兩平面的公共點，
∴由公理3知P∈AC．
所以，三條直線EF、GH、AC交于一點
點評：所謂線共點問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點．（1）證明三線共點的依據是公理3．（2）證明三線共點的思路是：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過該點，把問題轉化為證明點在直線上的問題．實際上，點共線、線共點的問題都可以轉化為點在直線上的問題來處理．