Question

設正項數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1且數列{

Sn

}是公差為1的等差數列
（1）求S_n和通項公式a_n；
（2）通過公式bn=

Sn •an

n+c

構造一個新的數列{b_n}，當{b_n}是等差數列時，求實數c．

Answer 1

分析：（1）由正項數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1且數列{

Sn

}是公差為1的等差數列，推導出Sn=n2，從而能求出a_n=2n-1，n∈N₊．
（2）由bn=

Sn •an

n+c

，Sn=n2，a_n=2n-1，能推導出bn=

n(2n-1)

n+c

=kn+b，由此能求出c．

解答：解：（1）∵正項數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1且數列{

Sn

}是公差為1的等差數列，
∴

Sn

=

S1

+(n-1)×1=n，
Sn=n2，
∴S_n-S_n-1=2n-1，n≥2，
S₁=a₁=2×1-1，
∴a_n=2n-1，n∈N₊．
（2）∵bn=

Sn •an

n+c

，Sn=n2，a_n=2n-1，
∴bn=

n(2n-1)

n+c

=kn+b，
∴2n²-n=kn²+（b+kc）n+bc，
∴

bc=0 b+kc=-1

，
解得

k=2 c=0

，或

k=2 c=- 1 2

，
故c=0，或c=-

1

2

．

點評：本題考查通項公式的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．