Question

求滿足方程|Z+3-

3

i|=

3

的輻角主值最小的復數Z．

Answer 1

分析：首先明確z對應點的軌跡，再進一步求解．

解答：解：滿足方程|Z+3-

3

i|=

3

的復數在復平面上所對應的點的全體組成了如圖所示的一個圓，
其圓心A對應的復數為-3+

3

i，半徑為

3

，因而圓與x軸相切于點Q，點Q對應的復數是-3
從點O作圓的另一條切線OP，P為切點，
則點P所對應的復數為所求的復數
∵-3+

3

i=2

3

(cos150°+isin150°)，
設點B對應的復數為1，
∴∠BOA=150°，|OA|=2

3

，∠QOA=180°-∠BOA=30°
∵OP、OQ是同一點引出的圓的兩條切線，A是圓心，
∴∠AOP=∠QOA=30°，∠QOP=2∠QOA=60°，
∠BOP=180°-∠QOP=120°，
|OP|=|OA|cos∠AOP=2

3

•

3

2

=3．
∴所求的復數Z=3(cos120°+isin120°)=3(-

1

2

+

3

2

i)=-

3

2

+

3

2

3

i．

點評：本題是復數的幾何意義和簡單解析結合的綜合的考查．