Question

（2012•青島二模）已知向量

m

=(sinx，

3

sinx)，

n

=(sinx，-cosx)，設函數f(x)=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函數f（x）在[0，

3π

2

]上的單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，A為銳角，若f(A)+sin(2A-

π

6

)=1，b+c=7，△ABC的面積為2

3

，求邊a的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數量積公式，結合輔助角公式化簡函數，再利用正弦函數的單調性，結合函數的定義域，即可得到結論；
（Ⅱ）由f(A)+sin(2A-

π

6

)=1，可得A=

π

3

，利用△ABC的面積為2

3

，結合余弦定理，即可求邊a的長．

解答：解：（Ⅰ）由題意得f(x)=sin2x-

3

sinxcosx=

1-cos2x

2

-

3

2

sin2x=

1

2

-sin(2x+

π

6

)…（3分）
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z
解得：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z
∵x∈[0，

3π

2

]，∴

π

6

≤x≤

2π

3

，或

7π

6

≤x≤

3π

2

所以函數f（x）在[0，

3π

2

]上的單調遞增區間為[

π

6

，

2π

3

]，[

7π

6

，

3π

2

]…（6分）
（Ⅱ）由f(A)+sin(2A-

π

6

)=1得：

1

2

-sin(2A+

π

6

)+sin(2A-

π

6

)=1
化簡得：cos2A=-

1

2

又因為0＜A＜

π

2

，解得：A=

π

3

…（9分）
由題意知：S△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

，解得bc=8，
又b+c=7，所以a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA）=49-2×8×(1+

1

2

)=25
故所求邊a的長為5．…（12分）

點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數的化簡與三角函數的性質，考查余弦定理的運用，正確化簡函數是關鍵．