Question

12．已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面 ABCD，且PA=AD=DB=$\frac{1}{2}$，AB=1，M是PB的中點(diǎn)．
（1）證明：面PAD⊥面PCD；
（2）求AC與PB所成的角；
（3）求平面AMC與平面BMC所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）由三垂線定理得CD⊥PD，從而CD⊥面PAD，再由CD?面PCD，能證明面PAD⊥面PCD．
（2）過點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，則∠PBE是AC與PB所成的角． 連接AE，推導(dǎo)出四邊形ACBE為正方形，由此能求出AC與PB所成的角．
（3）作AN⊥CM，垂足為N，連接BN，則∠ANB為所求二面角的平面角，由此能求出平面AMC與平面BMC所成二面角的大小．

解答 證明：（1）∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂線定理得：CD⊥PD． 
因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD．
又CD?面PCD，∴面PAD⊥面PCD． 
解：（2）過點(diǎn)B作BE∥CA，且BE=CA，則∠PBE是AC與PB所成的角． 
連接AE，可知AC=CB=BE=AE=$\sqrt{2}$，
又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形．
由PA⊥面ABCD，得∠PEB=90° 
在Rt△PEB中，BE=a²=3b²，PB=$\sqrt{5}$，
∴cos∠PBE=$\frac{BE}{PB}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴AC與PB所成的角為arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（3）作AN⊥CM，垂足為N，連接BN．
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC，
∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角
∵CB⊥AC，
由三垂線定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．
在等腰三角形AMC中，AN•MC=$\sqrt{C{M}^{2}-（\frac{AC}{2}）^{2}}$•AC，
∴AN=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$．∴AB=2，
∴cos∠ANB=$\frac{A{N}^{2}+B{N}^{2}-A{B}^{2}}{2×AN×BN}$=-$\frac{2}{3}$，
故平面AMC與平面BMC所成二面角的大小為arccos（-$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考百線線角的求法，考百二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．