Question

已知圓，定點(diǎn)，點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿(mǎn)足．
（I）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；
（II）過(guò)點(diǎn)（2，0）作直線(xiàn)l，與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線(xiàn)l，使四邊形OASB的對(duì)角線(xiàn)相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿(mǎn)足故有|GN|+|GM|=|MP|=6，由橢圓的定義知G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，由定義寫(xiě)出其標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到點(diǎn)G的軌跡C的方程．
（II），所以四邊形OASB為平行四邊形，若存在l使得||=||，則四邊形OASB必為矩形即有，令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁x₂+y₁y₂=0，由直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C聯(lián)立求利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x₁x₂，y₁y₂的參數(shù)表達(dá)式，代入求直線(xiàn)的斜率k，若能求出，則說(shuō)明存在，若不能求出，則不存在．
解答：解：（I）Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN⇒GQ為PN的中垂線(xiàn)⇒|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=3，半焦距，
∴短半軸長(zhǎng)b=2，∴點(diǎn)G的軌跡方程是（5分）
（II）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101222149978340822/SYS201311012221499783408018_DA/8.png">，所以四邊形OASB為平行四邊形
若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形∴
若l的斜率不存在，直線(xiàn)l的方程為x=2，
由得∴，與矛盾，
故l的斜率存在．（7分）
設(shè)l的方程為y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由
∴①
y₁y₂=[k（x₁-2）][k（x₂-2）]=②（9分）
把①、②代入x₁x₂+y₁y₂=0得
∴存在直線(xiàn)l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四邊形OASB的對(duì)角線(xiàn)相等．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是軌跡方程，考查了定義法求橢圓的軌跡方程與直線(xiàn)與橢圓的相交問(wèn)題，直線(xiàn)與橢圓的關(guān)系問(wèn)題是圓錐曲線(xiàn)中一類(lèi)常考的綜合題，其規(guī)律是聯(lián)立方程⇒消元得關(guān)于x，或y的一元二次方程，再利用根系關(guān)系得到兩個(gè)直線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足的方程，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意總結(jié)這一共性．