Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2．

（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小．

Answer 1

解：解法一（Ⅰ）如圖所示，連結BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是

等邊三角形．因為E是CD的中點，所以BE⊥CD,又AB∥CD,所以BE⊥AB．又因為

PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE．而AB=A,因此BE⊥平面PAB．

又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連結PF．過點A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE．

在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP．

在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG．

則AG⊥PF．連結HG，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥HG．

所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）．

在等腰Rt△PAF中，

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是

解法二  如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系．則相關各點的坐標分別是

A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），E(1,,0)

（Ⅰ）因為，平面PAB的一個法向量是，所以共線．從而BE⊥平面PAB．又因為平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB．

（Ⅱ）易知  

   設是平面PBE的一個法向量，則由

得所以

   設是平面PAD的一個法向量，則由

得所以故可取

   于是，

   故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是