Question

設a₁，a₂，…，a_n為實數，證明：

a1+a2+…+an

n

≤

a 2 1 +a 2 2 +…+ a 2 n n

．

Answer 1

分析：利用排序原理，n個式子相加，可得n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤（a₁+a₂+…+a_n）²，上式兩邊除以n²，并開方可得結論．

解答：證明：不妨設a₁≤a₂≤…≤a_n，則由排序原理得：
a₁²+a₂²+…+a_n²=a₁a₁+a₂a₂+…+a_na_n
a₁²+a₂²+…+a_n²≤a₁a₂+a₂a₃+…+a_na₁
a₁²+a₂²+…+a_n²≤a₁a₃+a₂a₄+…+a_n-1a₁+a_na₂
…
a₁²+a₂²+…+a_n²≤a₁a_n+a₂a₁+…+a_na_n-1．
將上述n個式子相加，得：n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤（a₁+a₂+…+a_n）²，
上式兩邊除以n²，并開方可得：

a1+a2+…+an

n

≤

a 2 1 +a 2 2 +…+ a 2 n n

．

點評：本題考查排序原理，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．