Question

已知方程x²+y²-2(t+3)x+2(1-4t²)y+16t⁴+9=0(t是實(shí)數(shù))表示的圖形是圓.

(1)求實(shí)數(shù)t的取值范圍;

(2)求其中面積最大的圓的方程;

(3)若點(diǎn)P(3,4t²)恒在所給圓內(nèi),求t的取值范圍.

Answer 1

思路點(diǎn)撥：本題所給的方程是圓的一般方程,需要根據(jù)它表示圓的充要條件判斷t的范圍,也可以把它轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程,再進(jìn)行處理.

解：(1)方程可以轉(zhuǎn)化為(x-t-3)²+(y+1-4t²)²=(t+3)²+(1-4t²)²-16t⁴-9,

則半徑的平方為r²=-7t²+6t+1＞0,

所以-＜t＜1.

(2)因?yàn)閞=,

所以當(dāng)t=∈(-,1)時(shí),半徑取最大值.

此時(shí)面積最大,所對(duì)應(yīng)的圓的方程為(x-)²+(y+)²=.

(3)當(dāng)且僅當(dāng)3²+(4t²)²-2(t+2)×3+2(1-4t²)(4t²)+16t⁴+9＜0時(shí),點(diǎn)P在圓內(nèi).

所以8t²-6t＜0,即0＜t＜.