Question

19、已知函數f（x）=x²+1．
（1）用定義證明f（x）是偶函數；
（2）用定義證明f（x）在[0，+∞）上是增函數；
（3）在給定的坐標系中畫出f（x）的圖象，寫出函數f（x）在x∈[-1，2]上的最大值是

5

與最小值是

0

．

Answer 1

分析：（1）由偶函數的定義直接證明即可．
（2）首先在[0，+∞）上任取兩個自變量，然后利用做差法比較對應函數值的大小即可．
（3）由二次函數的圖象直接作出圖象即可．由圖象可看出最大值和最小值．

解答：解：（1）證明：f（x）=x²+1是R上的函數，
f（-x）=（-x）²+1=x²+1
即f（x）=f（-x）所以f（x）是偶函數
（2）證明：任取x₁，x₂使0≤x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）
=（x₁²+1）-（x₂²+1）=（x₁-x₂）（x₁+x₂）
∵0≤x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0；x₁+x₂＞0；
（x₁-x₂）（x₁+x₂）＜0
f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數；
（3）如圖所示：
最大值為5，最小值為0

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷和證明，以及函數的最值和圖象．難度不大．