Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，側面PBC⊥底面ABCD．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）求二面角P-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）首先建立恰當的空間直角坐標系，然后表示出

PA

、

BD

的坐標，證明其乘積為0即可；
（2）分別求出平面PAD的法向量與平面BAD的法向量，由它們的夾角余弦值進而求出二面角P-AD-B的余弦值．

解答：（1）證明：如圖，∵△PBC是等邊三角形，O是BC中點，∴PO⊥BC．
由側面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥平面ABCD，
以BC中點O為原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的
空間直角坐標系O-xyz．
∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，
∴A（1，-2，0），B（1，0，0），D（-1，-1，0），P（0，0，

3

）．
∴

BD

=(-2，-1，0)，

PA

=(1，-2，-

3

)．
∵

BD

•

PA

=(-2，-1，0)•(1，-2，-

3

)=0，
∴

BD

⊥

PA

即BD⊥PA．

（2）解：由（1）知

AD

=（-2，1，0），

PA

=（1，-2，-

3

），
設平面PAD的法向量為

n1

=（x，y，z），
則

n1 • AD =0 n1 • PA =0

，即

-2x+y=0 x-2y- 3 z=0

．
不妨取

n1

=（1，2，-

3

）．
又平面BAD的一個法向量為

n2

=（0，0，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | •| n2 |

=

- 3

2 2

=-

6

4

．
又二面角P-AD-B是銳二面角，
∴二面角P-AD-B的余弦值為

6

4

．

點評：本題主要考查向量法解立體幾何問題．