Question

（2013•浦東新區(qū)二模）如圖，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長是2，體積是16，M，N分別是棱BB₁、B₁C₁的中點．
（1）求異面直線MN與A₁C₁所成角的大小（結果用反三角表示）；
（2）求過A₁，B，C₁的平面與該正四棱柱所截得的多面體A₁C₁D₁-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線定理、勾股定理、異面直線所成的角的定義即可得出；
（2）先計算出三棱錐B-A₁B₁C₁體積，即可得出要求的體積．

解答：解：（1）由題意得16=2²×B₁B，∴B₁B=4．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=

22+22

=2

2

=A₁C₁．
同理可得BC1=BA1=

22+42

=2

5

．
連接BC₁，∵M，N分別是棱BB₁、B₁C₁的中點，∴BC₁∥MN，
∴∠A₁C₁B或其補角是異面直線MN與A₁C₁所成的角．
連接BA₁，在△A₁BC₁中，由余弦定理得cos∠A₁C₁B=

(2 2 )2+(2 5 )2-(2 5 )2

2×2 2 ×2 5

=

10

10

．
∴異面直線MN與A₁C₁所成的角為arccos

10

10

．
（2）∵VB-A1B1C1=

1

3

×

1

2

×2×2×4=

8

3

；
∴VA1C1D1-ABCD=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=16-

8

3

=

40

3

，
∴多面體A₁C₁D₁-ABCD的體積為

40

3

．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理、勾股定理、異面直線所成的角的定義及三棱錐的體積是解題的關鍵．