Question

附加題（必做題）
在0，1，2，3，…，9這十個自然數中，任取3個不同的數字．
（1）求組成的三位數中是3的倍數的有多少個？
（2）將取出的三個數字按從小到大的順序排列，設ξ為三個數字中相鄰自然數的組數（例如：若取出的三個數字為0，1，2，則相鄰的組為0，1和1，2，此時ξ的值是2），求隨機變量ξ的分布列及其數學期望Eξ．

Answer 1

【答案】分析：（1）要想組成的三位數能被3整除，把0，1，2，3，…，9這十個自然數中分為三組：0，3，6，9；1，4，7；2，5，8．求出每組中各取一個數，含0，與每組中各取一個數不含0以及從每組中各取三個數的所求可能，相加即可；、（2）隨機變量ξ的取值為0，1，2，然后根據等可能事件的概率公式求出相應的概率，得到ξ的分布列，最后利用數學期望公式解之即可．
解答：解：（1）要想組成的三位數能被3整除，把0，1，2，3，…，9
這十個自然數中分為三組：0，3，6，9；1，4，7；2，5，8．
若每組中各取一個數，含0，共有C₃¹C₃¹C₂¹A₂²=36種；
若每組中各取一個數不含0，共有C₃¹C₃¹C₃¹A₃³=162種；
若從每組中各取三個數，共有3A₃³+C₃²A₂²A₂²=30種．
所以組成的三位數能被3整除，共有36+162+30=228種．…（6分）
（2）隨機變量ξ的取值為0，1，2，
P（ξ=2）==
P（ξ=1）==
P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=1--=
ξ的分布列為：

ξ		1	2
P

所以ξ的數學期望為．…（10分）
點評：本題主要考查了等可能事件的概率，以及離散型隨機變量的分布列和數學期望，同時考查了分類討論的數學思想和計算能力，屬于中檔題．