Question

已知二次函數f(x)的二次項系數為a，且不等式f(x)＜-2x的解集為(1,3).

（1）若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求f(x)的解析式；

（2）若f(x)的最小值為負數，求a的取值范圍.

Answer 1

解析：本題綜合考查一元二次方程、一元二次不等式和二次函數的關系及其性質，重點是互相之間的轉化.在（1）中，通過不等式f(x)＜-2x的解集為(1,3)，用二次函數的標根式把不等式轉化成函數，再根據韋達定理將問題轉化成關于a的方程.在（2）中，既可以根據二次函數的最值公式將題意轉化成不等式，也可以用配方法求最值.

解：（1）Qf(x)+2x＜0的解集為（1，3）.∴設f(x)+2x=a(x-1)(x-3),則a＞0.因而

f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax²-(2+4a)x+3a                         ①

由方程f(x)|+6a=0得ax²-(2+4a)x+9a=0                        ②

∵方程②有兩個相等的根，

∴Δ=［-（2+4a)］²-4a·9a=0，

即5a²-4a-1=0.解得a=1或a=-.

由于a＞0,舍去a=-.將a=1代入①得f(x)的解析式f(x)=x²-6x+3.

（2）由f(x)=ax²-2(1+2a)x+3a=a(x-)²-及a＞0,可得f(x)的最小值為-.

由題意可得，解得a＞0.

故當f(x)的最小值為負數時，實數a的取值范圍是a＞0.