Question

已知數列{a_n}是公差不為零的等差數列，a₁₀=15，且a₃、a₄、a₇成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

an

2n

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：-

7

4

≤Tn＜-1(n∈N*)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用待定系數法，根據a₁₀=15，且a₃、a₄、a₇成等比數列，建立方程組，可求首項與公差，從而可得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）先利用錯位相減法求出數列{b_n}的前n項和為T_n，再確定其單調性，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：設數列{a_n}的公差為d（d≠0），由已知得：

a10=15 a42=a3a7

即：

a1+9d=15 (a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d)

------（2分）
解之得：

a1=-3 d=2

---------------------（4分）
所以a_n=2n-5，（n≥1）-------------------------（6分）
（Ⅱ）證明：∵bn=

an

2n

=

2n-5

2n

，n≥1．
∴Tn=

-3

2

+

-1

22

+

1

23

+…+

2n-5

2n

，①

1

2

Tn=

-3

22

+

-1

23

+

1

24

+…+

2n-7

2n

+

2n-5

2n+1

．②
①-②得：

1

2

Tn=

-3

2

+2(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n-5

2n+1

=-

1

2

+

1-2n

2n+1

得Tn=-1-

2n-1

2n

(n≥1)，----------（10分）
∵

2n-1

2n

＞0(n∈N*)，
∴T_n＜-1．------------------（12分）
∵Tn+1-Tn=(-1-

2n+1

2n+1

)-(-1-

2n-1

2n

)=

2n-3

2n+1

，
∴T_n＜T_n+1（n≥2）-----------（13分）
而T₁＞T₂，所以T₂最小
又T2=-

7

4

，所以Tn≥-

7

4

綜上所述，-

7

4

≤Tn＜-1(n∈N*)．----------（14分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列的通項與求和，考查數列的單調性，正確求數列的通項與求和是關鍵．