Question

已知S_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…a_n）}，a_i={0或1}，i=1，2，••，n（n≥2），對于U，V∈S_n，d（U，V）表示U和V中相對應的元素不同的個數．
（Ⅰ）令U=（0，0，0，0），存在m個V∈S₅，使得d（U，V）=2，寫出m的值；
（Ⅱ）令，U，V∈S_n，求證：d（U，W）+d（V，W）≥d（U，V）；
（Ⅲ）令U=（a₁，a₂，a₃，…a_n），若V∈S_n，求所有d（U，V）之和．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據d（U，V）可知mC₅²；
（Ⅱ）根據a_i=0或1，i=1，2，••，n，分類討論a_i=0，b_i=0時，|a_i|+|b_i|=0=|a_i-b_i|；當a_i=0，b_i=1時，|a_i|+|b_i|=1=|a_i-b_i|；當a_i=1，b_i=0時，|a_i|+|b_i|=1=|a_i-b_i|；
     當a_i=1，b_i=1時，|a_i|+|b_i|=2≥|a_i-b_i|=0，可證，|a_i|+|b_i|≥|a_i-b_i|，再相加即可證明結論；
（Ⅲ）易知S_n中共有2ⁿ個元素，分別記為v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）b_i=0的v_k共有2^n-1個，b_i=1的v_k共有2^n-1個然后求和即可．
解答：解：（Ⅰ）∵V∈S₅，d（U，V）=2，
∴C₅²=10，即m=10；
（Ⅱ）證明：令U=（a₁，a₂，a₃，…a_n），V=（b₁，b₂，b₃，…b_n）
∵a_i=0或1，b_i=0或1；
當a_i=0，b_i=0時，|a_i|+|b_i|=0=|a_i-b_i|
當a_i=0，b_i=1時，|a_i|+|b_i|=1=|a_i-b_i|
當a_i=1，b_i=0時，|a_i|+|b_i|=1=|a_i-b_i|
當a_i=1，b_i=1時，|a_i|+|b_i|=2≥|a_i-b_i|=0
故，|a_i|+|b_i|≥|a_i-b_i|
∴d（U，W）+d（V，W）=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）+（b₁+b₂+b₃+…+b_n）
=（|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|）+（|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|）
≥|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+…+|a_n-b_n|
（Ⅲ）解：易知S_n中共有2ⁿ個元素，分別記為v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）
∵b_i=0的v_k共有2^n-1個，b_i=1的v_k共有2^n-1個．
∴d（U，V）=2^n-1（|a₁-0|+|a₁-1|+|a₂-0|+a₂-1|+|a₃-0|+|a₃-1|+…+|a_n-0|+|a_n-1|=n2^n-1
∴d（U，V）=n2^n-1．
點評：此題是個難題．本題是綜合考查集合推理綜合的應用，這道題目的難點主要出現在讀題上，需要仔細分析，以找出解題的突破點．題目所給的條件其實包含兩個定義，第一個是關于S_n的，其實S_n中的元素就是一個n維的坐標，其中每個坐標值都是0或者1，也可以這樣理解，就是一個n位數字的數組，每個數字都只能是0和1，第二個定義d（U，V）．