Question

【題目】已知橢圓的一個焦點為，上頂點為，原點O到直線的距離為.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若點T在圓上，點A為橢圓的右頂點，是否存在過點A的直線l交橢圓C于點B（異于點A），使得成立？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在滿足條件的直線，其方程為.

【解析】

（1）根據條件列方程組，解得即可，（2）設直線方程，與橢圓方程聯立方程組，利用韋達定理解得B點坐標，再根據條件得T點坐標，代入圓方程，解得直線斜率，即得結果.

解：（1）由橢圓的一個焦點為知:，即.①.

又因為直線的方程為，即，所以.

由①解得.

故所求橢圓的標準方程為.

（2）假設存在過點的直線適合題意，則結合圖形易判斷知直線的斜率必存在，

于是可設直線的方程為，

由，得.（*）

因為點是直線與橢圓的一個交點，且

所以，所以，

即點.

所以，即.

因為點在圓上，所以，

化簡得，解得，所以.

經檢驗知，此時（*）對應的判別式，滿足題意.

故存在滿足條件的直線，其方程為.