Question

點O是平面α內的定點，點A（與點O不同）的“對偶點”A′是指：點A′在射線OA上且|OA|•|OA′|=1厘米²．若平面α內不同四點P，Q，R，S在某不過點O的直線l上，則它們相應的“對偶點”P′，Q′R′，S′在（　　）

A、一個過點O的圓上

B、一個不過點O的圓上

C、一條過點O的直線上

D、一條不過點O的直線上

Answer 1

分析：過O作與直線l垂直的直線m，以O為原點，直線m為x軸，單位為1厘米，建立平面直角平面坐標系，設出P，P′的坐標，利用|OP|•|OP′|=1，化簡可得結論．

解答：解：過O作與直線l垂直的直線m，以O為原點，直線m為x軸，單位為1厘米，建立平面直角平面坐標系．
設直線l：x=

1

a

（a≠0），P（

1

a

，y₀）是直線l上任意一點，它的“對偶點”為P′（x，y），則存在λ＞0，使得

OP

=λ

OP′

，即

1

a

=λx，y0=λy，
又|OP|•|OP′|=

OP

•

OP′

=

x

a

+y0y=1，消去λ，得x²+y²-ax=0．
故P′，Q′R′，S′在過點O的圓x²+y²-ax=0上．
故選A．

點評：本題考查軌跡方程，考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．