Question

將函數y=

-x2+2x+3

-

3

（x∈[0，2]）的圖象繞坐標原點逆時針旋轉θ（θ為銳角），若所得曲線仍是一個函數的圖象，則θ的最大值為

60°

．

Answer 1

分析：根據二次函數的單調性，可得函數在[0，1]上為增函數，在[1，2]上為減函數．利用求導公式和導數的運算法則，可得函數的導數為f'（x）=

-x  +1

-x2+2x+3

，再設函數在 x=0 處，函數圖象的切線斜率為k，則k=f'（0）=

3

3

=tan30°，可得切線的傾斜角為 30°．因此，可得要使旋轉后的圖象仍為一個函數的圖象，最大旋轉角為 90°-30°=60°．

解答：解：設f（x）=

-x2+2x+3

-

3

，根據二次函數的單調性，可得函數在[0，1]上為增函數，在[1，2]上為減函數．
設函數在 x=0 處，切線斜率為k，則k=f'（0）
∵f'（x）=

1

2

•

(-x2 +2x)′

-x2+2x+3

=

-x  +1

-x2+2x+3

，
∴k=f'（0）=

3

3

=tan30°，可得切線的傾斜角為 30°，
因此，要使旋轉后的圖象仍為一個函數的圖象，
旋轉θ后的切線傾斜角最多為 90°，
也就是說，最大旋轉角為 90°-30°=60°，即θ的最大值為60°
故答案為：60°

點評：本題給出二次式作為被開方數的一個函數，將函數圖象繞原點逆時針旋轉θ后，所得曲線仍是一個函數的圖象，求角θ的最大值，著重考查了導數的幾何意義和函數的圖象與圖象變化等知識點，屬于中檔題．