Question

已知定點A（-2，0），B（2，0），及定點F（1，0），定直線l：x=4，不在x軸上的動點M到定點F的距離是它到定直線l的距離的倍，設點M的軌跡為E，點C是軌跡E上的任一點，直線AC與BC分別交直線l與點P，Q．
（1）求點M的軌跡E的方程；
（2）試判斷以線段PQ為直徑的圓是否經過定點F，并說明理由．

Answer 1

解：（1）由橢圓的第二定義可知：
點M的軌跡E是以定點F（1，0）為焦點，離心率e=，直線l：x=4為準線的橢圓（除去與x軸相交的兩點）．
∴c=1，，∴a=2，b²=2²-1²=3，
∴點M的軌跡為橢圓E，其方程為（除去（±2，0））．
（2）以線段PQ為直徑的圓經過定點F．下面給出證明：
如圖所示：設C（x₀，y₀），（x₀≠±2），則直線AC的方程為：，
令x=4，則y_P=，∴，∴=；
直線BC的方程為：，令x=4，則y_Q=，∴，∴k_QF==．
∴k_PF•k_QF==，
∵點C（x₀，y₀）在橢圓上，∴，∴=-1，
∴k_PF•k_QF=-1．
因此以線段PQ為直徑的圓經過定點F．
分析：（1）由橢圓的第二定義即可知道點M的軌跡E為橢圓；
（2）設出橢圓上的點C的坐標，進而寫出直線AC、BC的方程，分別求出點P、Q的坐標，只要判斷k_PF•k_QF=-1是否成立即可．
點評：熟練掌握橢圓的定義、直線垂直與斜率的關系是解題的關鍵．