Question

橢圓的兩焦點為F₁，F₂，以F₁F₂為一邊的正三角形的另兩條邊均被橢圓平分，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：正三角形的邊長為 2c，第三個頂點在y軸上，設出A的坐標，求出 AF₂ 的中點坐標，把AF₂ 的中點坐標代入橢圓的方程化簡解方程求得 e．

解答：解：由題意知，正三角形的邊長為 2c，第三個頂點在y軸上，設為A，則 A的坐標可為 （0，

3

c），
再由中點公式得 AF₂ 的中點為（

c

2

，

3 c

2

），再由 AF₂ 的中點在橢圓上得

( c 2 )2

a2

+

( 3 c 2 )2

a2-c2

=1，
化簡得 e⁴-8e²+4=0，∴e²=4+2

3

（舍去） 或 e²=4-2

3

，∴e=

3

-1，
故答案為：

3

-1．

點評：本題考查線段的中點公式，橢圓的標準方程和簡單性質的應用，注意離心率的取值范圍．