Question

已知函數f（x）=a^x-xlna，（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）取a=e，若x∈[

1

2

，2]時，函數g（x）=f（x）-mx有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數的導函數f′（x），并將其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函數的單調增區間，由f′（x）＜0，得函數的單調減區間；
（II）由題意可得函數g（x）=f（x）-mx有兩個不同的零點，即m=

ex-x

x

有兩個不同的實根，令h(x)=

ex-x

x

，利用導數研究其單調性，由此求得實數m的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=a^x-xlna，
∴f′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
令f′（x）=0，得x=0，
當a＜a＜1時，lna＜0，
若x＜0，則a^x-1＞0，∴f′（x）＜0；
若x＞0，則a^x-1＜0，∴f′（x）＞0；
當a＞1時，lna＞0，若x＜0，則a^x-1＜0，所以有f'（x）＜0；
若x＞0，則a^x-1＞0，所以有f'（x）＞0．
綜上可知，函數f（x）的單調遞減區間為（-∞，0），單調遞增區間為（0，+∞）…（6分）
（Ⅱ）函數g（x）=f（x）-mx有兩個不同的零點，即m=

ex-x

x

有兩個不同的實根．
令h(x)=

ex-x

x

，則h′(x)=

(x-1)ex

x2

．
所以當x∈[

1

2

，1)時，h'（x）＜0．當x∈（1，2]時，h'（x）＞0．
即函數h（x）在[

1

2

，1)上為減函數，在（1，2]上為增函數．
所以h（x）_min=h（1）=e-1．
又h(

1

2

)=2

e

-1，h(2)=

e2

2

-1．且h(2)＞h(

1

2

)
所以實數m的取值范圍為：e-1＜m≤2

e

-1．…（12分）

點評：本題考查了利用導數求函數的單調區間的方法，考查函數的零點的定義，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．