Question

已知拋物線y²=2px（p＞0），點P（

8

5

，

4

5

），線段OP的垂直平分線經過拋物線的焦點F，經過F作兩條互相垂直的弦AB、CD、，設AB、CD的重點分別為M、N
（1）求拋物線的方程；
（2）直線MN是否經過定點？若經過，求出定點坐標；若不經過，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）由p（

8

5

，

4

5

），O（0，0），得到直線OP的k斜率：K_OP=

1

2

，從而得出OP的垂直平分線所在直線方程，最后令y=0，可得：p=2，從而寫出拋物線方程即可；
（2）假設直線MN過定點，設A（x_A，y_A），B （x_B，y_B），M（x_M，y_M），設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-1），將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得直線MN的方程，從而解決問題．

解答：解：（1）由p（

8

5

，

4

5

），O（0，0），
∴k_OP=

1

2

，線段OP的中點為：（

4

5

，

2

5

），
∴OP的垂直平分線所在直線方程y-

2

5

=-2(x-

4

5

)，即2x+y-2=0．
令y=0，解得：x=1，故得：p=2
拋物線方程為：y²=4x…..（4分）
（2）假設直線MN國定點
設A（x_A，y_A），B （x_B，y_B），M（x_M，y_M），
設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-1）
與拋物線聯立可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韋達定理：x_A+x_B=2+

4

k 2

∴x_M=

2

k 2

+1
∴點M的坐標為（

2

k 2

+1，-2k）
當k≠±1
直線MN的斜率為：

k

1-k 2

方程為：y+2k=

k

1-k 2

（x-2k²-1
整理得：y（1-k²）=k（x-3）
直線恒經過定點（3，0）
當k=±1時，直線MN方程為X=3，經過（3，0）
綜上，不論k為何值，直線MN恒過定點（3，0）…（12分）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了考生分析推理和基本的運算能力．