Question

16．已知三個數1，a，9成等比數列，則圓錐曲線$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{2}=1$的離心率為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$或$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$

Answer 1

分析 由已知求得a值，然后分類討論求得圓錐曲線$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{2}=1$的離心率．

解答 解：∵三個數1，a，9成等比數列，
∴a²=9，則a=±3．
當a=3時，曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，表示橢圓，則長半軸長為$\sqrt{3}$，半焦距為1，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
當a=-3時，切線方程為$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{3}=1$，實半軸長為$\sqrt{2}$，半焦距為$\sqrt{5}$，離心率為$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的簡單性質，考查分類討論的數學思想方法，是中檔題．