Question

已知向量

m

=(sinx，cosx)，

n

=(

3

cosx，cosx)，且函數f(x)=

m

•

n

+a
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（2）若函數f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值的和為

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由數量積的定義和三角函數的公式化簡可得f（x）的解析式，進而可得周期和單調區間；
（2）由x的范圍可得f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值，由題意可得關于a的方程，解之可得．

解答：解：（1）由題意可得f(x)=

m

•

n

+a=

3

sinxcosx+cos²x+a
=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

+a=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+a+

1

2

=sin(2x+

π

6

)+a+

1

2

，
∴T=

2π

2

=π，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，
解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
∴函數f（x）的單調區間是[

π

6

+kπ，

2

3

π+kπ](k∈Z)
（2）∵

- π 6 ≤x≤ π 3

，
∴-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值的和

(1+a+ 1 2 )+(- 1 2 +a+ 1 2 )= 3 2

，
解得a=0．

點評：本題考查三角函數與向量數量積的結合，涉及三角函數的單調區間和值域，屬中檔題．